专题03有理数的计算【知识点1】乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。乘方的结果叫做幂。如：读作a的n次方（幂），在an中，a叫做底数，n叫做指数。性质：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；正数的任何次幂都是正数；0的任何正整数次幂都是0。【知识点2】科学记数法定义：把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a大于或等于1且小于10，n是正整数)，这种记数方法叫做科学记数法。小于-10的数也可以类似表示。用科学记数法表示一个绝对值大于10的数时，n是原数的整数数位减1得到的正整数。【知识点3】近似数一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个数近似到哪一位，也叫做精确到哪一位。精确到十分位——精确到0.1；精确到百分位——精确到0.01；···。【知识点4】有理数的加法加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。加法运算律：①交换律a+b=b+a；②结合律(a+b)+c=a+(b+c)。【知识点5】有理数的减法减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。即：a-b=a+(-b)。【知识点6】有理数的乘法乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。乘法运算律：①交换律ab=ba；②结合律(ab)c=a(bc)；③分配律a(b+c)=ab+ac。【知识点7】有理数的除法除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即：。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。【知识点8】有理数的混合运算混合运算的顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。题型01：有理数的加法（2022秋•天宁区期中）计算 ．【分析】根据异号两数相加，取绝对值大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，可得答案．【解答】解：原式．故答案为：．（2023春•黄浦区期中）计算： ．【分析】根据有理数加法法则进行计算，法则是：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．【解答】解：．故答案为：．（2022秋•东莞市校级期中）绝对值小于3的所有整数的和是 ．【分析】绝对值的意义：一个数的绝对值表示数轴上对应的点到原点的距离．互为相反数的两个数的和为0．依此即可求解．【解答】解：根据绝对值的意义得绝对值小于3的所有整数为0，，．所以．故答案为：0．（2022秋•青羊区校级期中）已知、都是有理数，若，则 ．【分析】根据任何数的绝对值一定是非负数，几个非负数的和是0，则每个数都是0，可求出、的值．再根据有理数的减法法则计算可得．【解答】解：，且，解得：，，则，故答案为：．（2023春•闵行区期中）计算：．【分析】根据有理数的加法计算法则计算得出结论即可．【解答】解：．题型02：有理数的减法（2022秋•齐齐哈尔期中）12月7日，梅里斯区白天最高温度是，夜间最低温度比白天最高温度低，夜间最低温度可能为 A． B． C． D．【分析】根据题意列式计算即可．【解答】解：，即夜间最低温度可能为，故正确．故选：．（2022秋•河北区期中）计算的结果是 A．5 B．23 C． D．【分析】应用有理数减法法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式．故选：．（2022秋•中山市期中）计算的结果是 A．0 B． C．3 D．6【分析】根据有理数的减法法则计算即可．【解答】解：．故选：．（2022秋•江城区期中）计算的结果是 A． B． C． D．6【分析】原式利用减法法则变形，计算即可求出值．【解答】解：原式，故选：．（2022春•香坊区校级期中）如果室内温度为，室外温度为，则室内温度比室外温度高 A． B． C． D．【分析】根据温差相减即可求解．【解答】解：，故选：．（2022秋•合浦县期中）计算的结果等于 A． B．2 C． D．6【分析】利用有理数的减法法则计算即可．【解答】解：，故选：．（2022秋•南海区期中）若的相反数是3，，且，则的值是 A．3 B．3或 C．或 D．【分析】首先根据相反数，绝对值的概念分别求出、的值，然后代入，即可得出结果．【解答】解：的相反数是3，则，，，且，，．故选：．题型03：有理数的加减法混合运算（2022秋•天河区校级期中）下列各式可以写成的是 A． B． C． D．【分析】根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，即可求得结果．【解答】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得，的结果为，的结果为，的结果为，的结果为，故选：．（2022秋•龙华区校级期中）不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为 A． B． C． D．【分析】根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式【解答】解：原式，故选：．（2022秋•浏阳市期中）将写成省略加号和括号的和的形式为 ．【分析】将有理数的加减混合运算统一成加法后，利用有理数的加法法则解答即可．【解答】解：原式，故答案为：．（2022秋•合江县期中）计算：．【分析】利用有理数的加减运算计算即可．【解答】解：．（2023春•黄浦区期中）计算：．【分析】根据有理数的加减混合运算计算即可．【解答】解：原式．题型04：倒数（2022春•兴隆台区校级期中）的倒数是 A． B． C． D．4【分析】根据互为倒数的两数之积为1，可得出答案．【解答】解：的倒数为．故选：．（2022秋•兴仁市期中）下列互为倒数的是 A．3和 B．和2 C．3和 D．和【分析】根据倒数的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：、，和互为倒数，符合题意；、，和2不互为倒数，不符合题意；、，和不互为倒数，不符合题意；、，和不互为倒数，不符合题意．故选：．（2022秋•灵山县期中）的倒数是 A． B． C．3 D．【分析】乘积是1的两数互为倒数，依据倒数的定义解答即可．【解答】解：的倒数是．故选：．（2022秋•琼海期中）2023的倒数是 A． B．2023 C． D．【分析】利用倒数的定义判断．【解答】解：2023的倒数是，故选：．题型05：有理数的乘法（2022秋•渝中区校级期中）计算的结果是 A． B．3 C． D．12【分析】根据有理数的乘法法则计算即可．【解答】解：原式．故选：．（2022秋•顺平县期中）下列各式中，积为负数的是 A． B． C． D．【分析】利用有理数的乘法，绝对值的定义计算并判断．【解答】解：，选项不符合题意；，选项不符合题意；，选项不符合题意；，选项符合题意．故选：．（2022秋•太和区期中）有5个有理数相乘，积为负，则其中正因数的个数为（ ）A．0 B．2或4 C．1或3或5 D．0或2或4【分析】根据有理数乘法法则解答．【解答】解：5个有理数相乘，积为负，则负因数肯定为奇数1，3，5个；那么正因数为0或2或4个．故选：D．（2022秋•雄县期中）对于，因数“3”增加1后，积的变化是 A．增加3 B．增加4 C．减少3 D．减少4【分析】根据因数因数积，分别计算和当因数“3”增加1后的积，再比较即可求解．【解答】解：，当因数“3”增加1后，积为：，，积的变化是：减少4，故选：．题型06：有理数的乘法的运算定律（2022秋•同安区期中）在简便运算时，把变形成最合适的形式是 A． B． C． D．【分析】根据有理数的乘法分配律即可得出答案．【解答】解：，根据有理数的乘法分配律，把变形成最合适的形式为，可以简便运算．故选：．（2022秋•天河区校级期中）计算的结果是 A．1 B． C．10 D．【分析】根据乘法分配律计算即可．【解答】解：，故选：．（2022秋•横县期中）计算：．【分析】把除化为乘，再用乘法分配律计算即可．【解答】解：原式．（2022秋•无棣县期中）计算：；【分析】先把有理数的除法转化为乘法，然后再利用乘法分配律，进行计算即可解答；【解答】解：；（2022秋•芜湖期中）计算：；【分析】利用乘法分配律，进行计算即可解答；【解答】解：；题型07：有理数的除法（2022秋•南康区期中）计算等于 A． B．2 C． D．8【分析】根据有理数的除法运算法则计算即可．【解答】解：，故选：．（2022秋•黔东南州期中）计算的值为 A．1 B．36 C． D．【分析】首先把除法变为乘法，再根据多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正判断出结果的符号，再把绝对值相乘即可．【解答】解：．故选：．（2022秋•安次区期中）计算的结果为 A． B．1 C． D．4【分析】先确定结果的符号，变除法为乘法，再计算求解．【解答】解：，故选：．（2022秋•香坊区校级期中）把20克盐放入100克水中，盐与盐水的比是 A． B． C． D．【分析】根据题意列出比，再根据有理数除法法则进行计算．【解答】解：．故选：．题型08：有理数的混合运算（2022秋•章丘区期中）有下列四个算式：①；②；③；④，其中，正确的有 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据有理数的混合运算法则，有理数的乘方等运算法则进行逐项分析计算即可．【解答】解：①，原来的计算错误；②，原来的计算错误；③，原来的计算正确；④，原来的计算正确．正确的有2个．故选：．（2022秋•新化县校级期中）计算的结果是 A．10 B．0 C． D．【分析】原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可得到结果．【解答】解：原式，故选：．（2022秋•滨城区期中）下列算式：①；②；③；④，运算结果为负数的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】①先算括号里面的减法，再算乘方即可求解；②根据有理数的乘法法则计算即可求解；③先算乘方，再算加法；④先算乘方，再算除法．【解答】解：①，符合题意；②，不符合题意；③，不符合题意；④，不符合题意．故选：．（2022秋•孝昌县期中）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于2，求的值．【分析】根据，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于2，可以求得，，的值，然后即可求得所求式子的值．【解答】解：，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于2，，，，当时，；当时，，由上可得，的值为12或．（2022秋•赣州期中）一架飞机进行特技表演，起飞后的高度变化如下表：高度变化上升下降上升下降上升记作（1）求此时飞机比起飞点高了多少千米？（2）若飞机平均上升1千米需消耗6升燃油，平均下降1千米需消耗4升燃油，那么这架飞机在这5个特技动作表演过程中，一共消耗多少升燃油？【分析】（1）求得各数的和，根据结果的符号和绝对值即可判断位置；（2）根据题意列式计算即可．【解答】解：（1）（千米）．答：此时飞机比起飞点高了1.7千米；（2）（升．答：一共消耗57.2升燃油．题型09：有理数的乘方（2022秋•大兴区校级期中）可以表示为 A． B． C． D．【分析】根据幂的定义进行计算即可．【解答】解：原式，故选：．（2022秋•南关区校级期中）一个数的立方是，则这个数是 A．2 B． C． D．【分析】根据立方根的定义进行解答．【解答】解：，，即的立方根是，故选：．（2022秋•霞浦县期中）若是有理数，则在①，②，③，④中，一定是正数的有 A．③④ B．①② C．②③④ D．①②③④【分析】根据有理数乘方的法则进行逐一分析即可．【解答】解：①当时，是非正数，不符合题意；②当时，是非正数，不符合题意；③一定是正数，符合题意；④一定是正数，符合题意．故选：．（2022秋•宝安区校级期中）下列各数，，，中，负数的个数有 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】先对各数进行计算，再运用负数的概念进行辨别．【解答】解：，，，，题目里各数中共有，，是负数，故选：．（2022秋•潢川县期中）下列各