冲刺2024年高考数学真题重组卷（新七省专用）真题重组卷05（参考答案）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678BCDCCDBC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。91011ABDBCACD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．1214．1四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（本小题满分13分）【解】（1）若，则，所以，故，又，所以在处的切线方程．（2）由题意，从而，①当时，，所以，从而在上单调递增，在上单调递减，故是的极大值点，满足题意；②当时，，所以或，，故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而是的极大值点，满足题意；③当时，，所以在上单调递增，不合题意；④当时，，所以或，，从而在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意；综上所述，实数a的取值范围是．16.（本小题满分15分）【解析】证明：取中点，连接，，为的中点．，且，四边形是平行四边形，故，平面；平面，平面，是中点，是的点，，平面；平面，平面，又，平面平面，又平面，平面；侧面为正方形，平面平面，平面平面，平面，，又，，若选①：；又，平面，又平面，，又，，，，两两垂直，若选②：平面，，平面，平面，，又，，，，，，又，，，，两两垂直，以为坐标原点，，，为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，1，，，1，，，2，，，1，，，1，，设平面的一个法向量为，，，则，令，则，，平面的一个法向量为，，，又，2，，设直线与平面所成角为，，．直线与平面所成角的正弦值为．17．（本小题满分15分）【解析】（Ⅰ）由题意可得，椭圆的离心率，又，所以，则，故椭圆的标准方程为；（Ⅱ）证明：先证明充分性，当时，设直线的方程为，此时圆心到直线的距离，则，联立方程组，可得，则△，因为，所以，，因为直线与曲线相切，所以，则，则直线的方程为恒过焦点，故，，三点共线，所以充分性得证．若，，三点共线时，设直线的方程为，则圆心到直线的距离为，解得，联立方程组，可得，即，所以；所以必要性成立；综上所述，，，三点共线的充要条件是．18．（本小题满分17分）【解析】（Ⅰ）由题意，，，，，故；（Ⅱ）证明：由题意可知，，则，所以，变形为，所以，即，即，令，若时，则的对称轴为，注意到，（1），若时，（1），当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，当时，（1），的正实根，原方程的最小正实根，（Ⅲ）当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝；当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．19.（本小题满分17分）【解】（1）证明：设，且为整数，∴∵，且为整数，∴是正整数，∴一定是20的倍数；（2）∵，且为正整数，∴，当时，，没有满足条件的，当时，，∴满足条件的有或，解得或，∴或，当时，，没有满足条件的，当时，，∴满足条件的有，解得，∴，当时，，没有满足条件的，当时，，∴满足条件的有或，解得或，∴或，∴小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为.