冲刺2024年高考数学真题重组卷（新七省专用）真题重组卷02（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．（2023全国甲卷数学（理））若复数，则（    ）A．-1 B．0          · C．1 D．2【答案】C【详解】因为，所以，解得：．故选：C.2.（2023新课标全国Ⅱ卷）设集合，，若，则（    ）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【详解】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.3.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知向量，若，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．4.（2023新课标全国Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（    ）．A．种 B．种C．种 D．种【答案】D【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.故选：D.5.（2023•新高考Ⅱ）若为偶函数，则 A． B．0 C． D．1【答案】【解析】由，得或，由是偶函数，，得，即，，得，得．故选：．6.（2023新课标全国Ⅰ卷）已知，则（    ）．A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，而，因此，则，所以.故选：B7．（2021•新高考Ⅰ）若过点可以作曲线的两条切线，则 A． B． C． D．【答案】【解析】法一：函数是增函数，恒成立，函数的图象如图，，即切点坐标在轴上方，如果在轴下方，连线的斜率小于0，不成立．点在轴或下方时，只有一条切线．如果在曲线上，只有一条切线；在曲线上侧，没有切线；由图象可知在图象的下方，并且在轴上方时，有两条切线，可知．故选：．法二：设过点的切线横坐标为，则切线方程为，可得，设，可得，，，是增函数，，，是减函数，因此当且仅当时，上述关于的方程有两个实数解，对应两条切线．故选：．8.（2023全国乙卷数学（文）(理)）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，则的中点，可得，因为在双曲线上，则，两式相减得，所以.对于选项A：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则，联立方程，消去y得，此时，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则，联立方程，消去y得，此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．（2022新课标全国Ⅱ卷）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;10．（2023新课标全国Ⅱ卷）若函数既有极大值也有极小值，则（    ）．A． B． C． D．【答案】BCD【解析】函数的定义域为，求导得，因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而，因此方程有两个不等的正根，于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确.故选：BCD11．（2023新课标全国Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（    ）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体【答案】ABD【解析】对于选项A：因为，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为，且，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为，且，所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；对于选项D：因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过的中点作，设，可知，则，即，解得，且，即，故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，可知：，则，即，解得，根据对称性可知圆柱的高为，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（2023·北京卷）已知函数，则____________．【答案】1【解析】函数，所以.13.（2023全国乙卷数学（文））已知为等比数列，，，则______.【答案】【详解】设的公比为，则，显然，则，即，则，因为，则，则，则，则，14.（2023新课标全国Ⅰ卷）在正四棱台中，，则该棱台的体积为________．【答案】【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，  因为，则，故，则，所以所求体积为.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（新题型）在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足.(1)求动点的轨迹的方程；(2)设直线与曲线交于，两点，且，求实数的值.【解】（1）设，，，，，，即，，，动点的轨迹的方程.（2）设，联立,可得：，由得，化简得,又因为，，，所以，即，化简得，满足，所以.16．（15分）（2023新课标全国Ⅱ卷）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．    (1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．【解析】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，因为，，所以与均为等边三角形，，从而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨设，，．，，又，平面平面．以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：  设，设平面与平面的一个法向量分别为，二面角平面角为,而，因为，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，从而．所以二面角的正弦值为．17．（15分）（2021•新高考Ⅰ）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答类问题的概率为0.8，能正确回答类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．【解析】（1）由已知可得，的所有可能取值为0，20，100，则，，所以的分布列为：0201000.20.320.48（2）由（1）可知小明先回答类问题累计得分的期望为，若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，则的所有可能取值为0，80，100，，，，则的期望为，因为，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题18．（17分）（2023•甲卷（理））已知，．（1）若，讨论的单调性；（2）若恒成立，求的取值范围．【解析】（1）已知，函数定义域为，若，此时，可得，因为，，所以当，即时，，单调递增；当，即时，，单调递减；（2）不妨设，函数定义域为，，令，，此时，不妨令，可得，所以单调递增，此时（1），①当时，，所以在上单调递减，此时，则当时，恒成立，符合题意；②当时，当时，，所以，又（1），所以在区间上存在一点，使得，即存在，使得，当时，，所以当时，，单调递增，可得当时，，不符合题意，综上，的取值范围为，．19．（17分）（新题型）若存在使得对任意恒成立，则称为函数在上的最大值点，记函数在上的所有最大值点所构成的集合为(1)若，求集合；(2)若，求集合；(3)设为大于1的常数，若，证明，若集合中有且仅有两个元素，则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列．【解】（1）,当且仅当时，在R上取得最大值，故；（2）定义域为R，，令，则，令得，-0+极小值其中，故，，可以看出，故有且仅有2个零点，分别为1和2，令得或1或2，12+0-0+0-极大值极小值极大值其中，故当或2时，取得最大值，故；（3），，，，令得，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当，，单调递增，……，由于，故所有的单调递增区间经过适当平移可重合，同理，所有的单调递减区间经过适当平移可重合，要想集合中有且仅有两个元素，则需要或，或，……，，其中，，又，所有的均处在单调递增区间上，所以为定值，故所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列．