椭圆必会十大基本题型讲与练01求椭圆的标准方程典例分析类型一、待定系数法第一步，做判断，根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能，（这时需要分类讨论）。第二步，设方程，根据上述判断，设方程为或。第三步，找关系，根据已知条件，建立关于a,b,c的方程组（注意椭圆中固有的等式关系，第四步，得方程，由上一步所得方程组求得出a,b,c，将解代入所设方程，即得所求。1．已知点是椭圆上的一点，椭圆的长轴长是焦距的倍，则该椭圆的方程为（）A． B．C． D．2.椭圆的左、右焦点分别为,,过点的直线交椭圆于,两点,交轴于点,若,均是线段的三等分点,的周长为,则椭圆的标准方程为()A. B. C. D. 3．已知椭圆C：（）的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于不同的两点A，B，若P为线段的中点，O为坐标原点，直线的斜率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．4．已知椭圆C的焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，过点F2与x轴垂直的直线交椭圆于第一象限的A点，点A关于坐标原点的对称点为B，且∠AF1B＝120°，S△F1AB＝eq\f(2\r(3),3)，则椭圆C的方程为____________．类型二、巧设方程法1．过点A(3，－2)且与椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )A.eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1C.eq\f(x2,10)＋eq\f(y2,15)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,15)＝12．已知椭圆过点和点，则此椭圆的标准方程是（）A． B．或C． D．以上都不对类型三、定义法1．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) B.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,36)＝1(x≠0)C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,20)＝1(x≠0) D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,6)＝1(x≠0)2．若动点始终满足关系式，则动点M的轨迹方程为（）A． B． C． D．3．若的两个顶点，，周长为，则第三个顶点的轨迹方程是____________．方法点拨1．求椭圆标准方程的2种常用方法（1）定义法：根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程（2）待定系数法（先定位，在定量）：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，(2)如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为(A＞0，B＞0，A≠B)．(3)与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1共焦点的椭圆可设为eq\f(x2,m＋k)＋eq\f(y2,n＋k)＝1(k＞－m，k＞－n且m≠n)．(4)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有相同离心率的椭圆，可设为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝k1(k1＞0，焦点在x轴上)或eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝k2(k2＞0，焦点在y轴上)．巩固练习夯实基础1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(3),3)，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4eq\r(3)，则椭圆C的方程为( )A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,3)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝12．过点(，－)，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（）A． B．C． D．3、如果椭圆的一个焦点坐标为,过此焦点且垂直于轴的弦的长等于,则这个椭圆的标准方程为（）A． B．C． D．4．已知以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－4))和Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，3))，则此椭圆的标准方程为( )A.eq\f(y2,25)＋x2＝1 B.eq\f(x2,25)＋y2＝1C.eq\f(x2,25)＋y2＝1或eq\f(y2,25)＋x2＝1 D．以上都不对5．古希腊数学家阿基米德用“逼近法”得到椭圆面积的4倍除以圆周率等于椭圆的长轴长与短轴长的积.已知椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，其面积为，过点的直线与椭圆交于点，且的周长为16，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．6．过椭圆C：右焦点F的直线l：交C于A、B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．7．阿基米德（公元前年-公元前年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（）A． B． C． D．8．（多选题）已知F为椭圆的左焦点，A，B为E的两个顶点.若，则E的方程为（）A． B． C． D．9．（多选题）椭圆的焦距，短轴长和长轴长构成等差数列，其中长轴长等于10，则椭圆的标准方程为（）A． B．C． D．10．（多选题）点，为椭圆的两个焦点，椭圆上存在点，使得，则椭圆的方程可以是（）A．B．C．D．11.如图所示，已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B，若椭圆的焦距为2，且eq\o(AF2,\s\up7(―→))＝2eq\o(F2B,\s\up7(―→))，则椭圆的方程为_______．12．已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0），若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为___________.13．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为F（0，3），直线4x+3y﹣13＝0与其相交于MN两点，MN中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是_______．14．已知椭圆，为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为1．则椭圆的方程为_______．15.根据下列条件,求椭圆的标准方程:(1)两顶点坐标为,且经过点;(2)焦距是,离心率是,焦点在轴上.(3)椭圆上的所有点中,到焦点的距离最小为,最大为,16．求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）两个焦点的坐标分别是，，椭圆上一点到两焦点的距离之和为26.（2）焦点在坐标轴上，且经过和两点.17．（1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是（－2，0），（2，0），并且经过点，求它的标准方程；（2）若椭圆经过两点（2，0）和（0，1），求椭圆的标准方程.18.（1）如图,从椭圆()上一点向轴作垂线,垂足恰为左焦点.又点是椭圆与轴正半轴的交点,点是椭圆与轴正半轴的交点,且,,求椭圆的方程.（2）求过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程.