机密启用前 姓名准考证号2023年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)风向卷（二）注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|x2－4x－5≤0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁RB)＝( )A．[－1，1] B．[－5，1]C．{1} D．(－∞，5]【答案】A 【解析】本题考查集合的交集、补集运算．A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}．因为B＝{x|x>1}，所以∁RB＝{x|x≤1}，所以A∩(∁RB)＝[－1，1]．故选A．2．复数z满足(2＋i)z＝i－3(i为虚数单位)，则|z|＝( )A．1B．2C．2D．5【答案】B 【解析】本题考查复数的基本运算．由题意知z＝i−32+i＝i−32−i2+i2−i＝−5+5i5＝－1＋i，所以|z|＝−12+12＝2.故选B．3．若实数x，y满足约束条件x+y≥1,y−x≤1,x≤1,则z＝2x＋y的最小值为( )A．1 B．2C．3 D．4【答案】A 【解析】本题考查线性规划问题．由约束条件x+y≥1,y−x≤1,x≤1作出可行域如图中阴影部分所示(包括边界)．由题得y＝－2x＋z，表示斜率为－2，纵截距为z的直线，当直线经过点A时，直线的纵截距最小，即z最小．联立x+y=1,y−x=1,解得x=0,y=1,则A(0，1)，所以z的最小值为－2×0＋1＝1.故选A．4．接种疫苗是防控新冠疫情有效的方法之一，我国自2021年1月开始实施全民免费接种新冠病毒疫苗工作．某地为方便居民接种，共设置了A，B，C，D四个疫苗接种点，每位接种者可去任一个接种点接种．若甲、乙两人去接种新冠病毒疫苗，则两人不在同一接种点接种新冠病毒疫苗的概率为( )A．14B．12C．23D．34【答案】D 【考点】本题考查古典概型【详解】由题意，甲、乙两人去A，B，C，D四个接种点接种新冠病毒疫苗的所有不同结果为AA，AB，AC，AD，BA，BB，BC，BD，CA，CB，CC，CD，DA，DB，DC，DD，共16种，其中两人不在同一接种点接种新冠病毒疫苗的情况有12种．由古典概型概率计算公式可得所求概率P＝1216＝34.故选D．5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A．8π＋32B．16π＋32C．8π＋643D．16π＋643【答案】A 【考点】几何体的三视图、几何体体积的计算【详解】由题中三视图可知，该几何体是组合体，左边是底面半径为2，高为4的圆柱的一半，右边是三棱柱，三棱柱的底面是腰为4的等腰直角三角形，高为4，所以半个圆柱的体积V1＝12×π×22×4＝8π，三棱柱的体积V2＝12×4×4×4＝32.所以该几何体的体积V＝8π＋32.故选A．6．在梯形ABCD中，AB→＝2DC→，设AB→＝m，AD→＝n，则AC→＋BD→＝( )A．－12m＋2nB．12m－2nC．m－2nD．－m＋2n【答案】A 【考点】平面向量的线性运算【详解】AC→＋BD→＝AD→＋DC→＋AD→－AB→＝2AD→＋12AB→－AB→＝－12AB→＋2AD→＝－12m＋2n，故选A．【快解】不妨设梯形ABCD为直角梯形，其中B为直角，如图建立平面直角坐标系，设AB＝a，BC＝b，则DC＝a2，B(0，0)，A(0，a)，C(b，0)，Db,a2，AC→＝(b，－a)，BD→＝b,a2，AC→＋BD→＝2b,−a2，AB→＝(0，－a)，AD→＝b,−a2，所以AC→＋BD→＝2AD→－12AB→＝2n－12m，故选A．7．已知0°≤α<90°，且sin36°(1＋sin2α)＝2cos218°cos2α，则α＝( )A．18°B．27°C．54°D．63°【答案】B 【考点】二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦公式【详解】因为sin36°(1＋sin2α)＝2sin18°cos18°(1＋sin2α)，所以2cos218°cos2α＝2sin18°cos18°(1＋sin2α)，即cos18°cos2α＝sin18°sin2α＋sin18°，所以cos18°cos2α－sin18°sin2α＝sin18°，则cos(2α＋18°)＝sin18°.因为0°≤α<90°，所以18°≤2α＋18°<198°，所以2α＋18°＝90°－18°，解得α＝27°，故选B．【一题多解】因为sin36°(1＋sin2α)＝2sin18°cos18°(sinα＋cosα)2，2cos218°cos2α＝2cos218°(cos2α－sin2α)，所以2sin18°cos18°(sinα＋cosα)2＝2cos218°·(cos2α－sin2α)，即sin18°(sinα＋cosα)＝cos18°(cosα－sinα)．所以sin18°cos18°＝cosα−sinαsinα+cosα，即tan18°＝1−tanα1+tanα＝tan(45°－α)．因为0°≤α<90°，所以－45°＜45°－α≤45°，所以18°＝45°－α，即α＝45°－18°＝27°，故选B．8．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则n的值为( )A．8B．11C．13D．17【答案】D 【考点】本题考查等差数列的性质和求和公式【详解】根据题意，S4＝3，Sn－4＝12，Sn＝17，则Sn－Sn－4＝5，即a1＋a2＋a3＋a4＝3，an＋an－1＋an－2＋an－3＝5，两式相加得到4(a1＋an)＝8，则a1＋an＝2，Sn＝na1+an2＝17，解得n＝17.故选D．9．已知在菱形ABCD中，AB＝AC＝2，将其沿对角线AC折成四面体ABCD，使得BD＝2.若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为( )A．8πB．4πC．6πD．103π【答案】C 【考点】正四面体的外接球及球的表面积【详解】因为四边形ABCD为菱形，且AB＝2，所以BC＝CD＝AD＝2.又四面体ABCD中AC＝BD＝2，所以四面体ABCD为棱长为2的正四面体．如图，设O1为等边三角形ACD的中心，则AO1＝233，BO1＝AB2−AO12＝22−2332＝263.设该四面体的外接球球心为O，则O∈BO1.设该四面体的外接球半径为R，则OO1＝BO1－R＝263－R.在Rt△AOO1中，R2＝263−R2＋2332，解得R＝62，所以外接球的表面积为4πR2＝4π×622＝6π，故选C．【一题多解】因为四边形ABCD为菱形，且AB＝2，所以BC＝CD＝AD＝2.又四面体ABCD中AC＝BD＝2，所以四面体ABCD为棱长为2的正四面体．如图，将其补形为正方体，则该四面体的外接球与正方体的外接球相同，且正方体的面对角线为2，故其棱长为2.因为正方体的外接球的直径为其体对角线，且其长度为6，所以正方体的外接球的半径为62，其表面积为6π，所以正四面体的外接球的表面积为6π，故选C．10．双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线C的右支在第一象限的交点为A，与y轴的交点为B，且B为线段AF1的中点．若△ABF2的周长为6a，则双曲线C的渐近线方程为( )A．y＝±3xB．y＝±2xC．y＝±32xD．y＝±22x【答案】B 【考点】本题考查双曲线定义及渐近线方程【详解】如图所示，由对称性可知|BF2|＝|BF1|.因为△ABF2的周长为6a，所以|AF1|＋|AF2|＝6a.又|AF1|－|AF2|＝2a，所以|AF1|＝4a，|AF2|＝2a.因为B为线段AF1的中点，所以|AB|＝|BF1|＝2a，则△ABF2为等边三角形，所以∠ABF2＝π3，∠F1BF2＝2π3，则∠F1BO＝π3.又因为|OF1|＝c，所以在Rt△F1BO中，sin∠F1BO＝|OF1||BF1|＝c2a＝32，则ca＝3，所以ba＝2，即双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.故选B．11．在三棱锥S－ABC中，SB＝BC＝SA，SM，AM，BN，CN分别是∠BSC，∠BAC，∠SBA，∠SCA的平分线，SA⊥平面BCN，MN⊥BC，则AM，BN所成角的余弦值为( )A．－85B．25C．345D．23【答案】D 【考点】本题考查空间线面的位置关系、异面直线所成角的余弦值【详解】因为SA⊥平面BCN，BC⊂平面BCN，所以SA⊥BC．又因为BC⊥MN，MN∩SA＝N，MN，SA⊂平面SMA，故BC⊥平面SMA．所以BC⊥SM，BC⊥AM.又∠BSM＝∠CSM，∠BAM＝∠CAM，故SB＝SC，AB＝AC．同理可得，SB＝BA，SC＝CA．又SB＝BC＝SA，所以SB＝BA＝SC＝CA＝BC＝SA，故该三棱锥S－ABC为正四面体．方法一：如图①，取CN的中点G，连接MG，AG，则MG∥BN，故∠GMA即为BN与AM所成角或其补角．设AB＝2，则MG＝12BN＝32，MA＝3，NA＝1，NG＝12CN＝32，则AG＝NG2+NA2＝72.在△MGA中，由余弦定理得cos∠GMA＝3+34−742×3×32＝23.故选D．方法二：将三棱锥S－ABC置于正方体中，如图②，易得MH∥BN，则∠HMA即为BN与AM所成角或其补角．设AB＝2，得正方体的棱长为2，则AM＝MH＝3，在△MHA中，由余弦定理可得cos∠HMA＝3+3−22×3×3＝23.故选D．【方法速记】求解正四面体的外接球半径，可以先找到球心(球心在正四面体的高上)，然后利用勾股定理求解；也可以将正四面体补形成正方体，利用正方体的体对角线长为正四面体外接球的直径进行求解．12．已知有且只有一个实数x满足x3－ax－1＝0，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，2)B．−∞,−3322C．(－∞，2]D．−∞,3322【答案】D【思路导引】由题意→a＝x2－1x有一个实根→令f(x)＝x2－1x→f′(x)→f(x)的单调性和图像→a的范围【考点】利用导数研究函数的单调性、方程根的个数【详解】x＝0显然不是x3－ax－1＝0的根，所以x≠0.所以只有一个实数x满足x3－ax－1＝0等价于方程a＝x2－1x只有一个实数根(提示：参变分离，将原问题转化为方程a＝x2－1x只有一个实数根)．令f(x)＝x2－1x(x≠0)，则f′(x)＝2x＋1x2，令f′(x)＝0，解得x＝－132.当x∈−∞,−132时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈−132,0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．当x→－∞时，f(x)→＋∞，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→0－时，f(x)→＋∞，当x→0＋时，f(x)→－∞，故f(x)的大致图像如图所示．故a