舒适练习004（解析版）一、单选题1．已知全集，，则集合的真子集个数为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由交集、并集结果可确定集合，根据中含个元素可计算求得真子集个数.【详解】，，，的真子集个数为个.故选：B.2．已知复数在复平面内对应的点分别为，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据复数的坐标表示，求出复数，再利用复数乘法求解作答.【详解】依题意，，所以.故选：D3．已知向量，满足，，则等于（    ）A． B．13 C． D．29【答案】C【分析】先求得向量，，进而求得.【详解】依题意，，两式相加得，所以，所以.故选：C4．在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中，把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中，点与底面圆都在同一个球面上，若球的表面积为，则圆锥的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直径所对的圆周角为直角，可得圆锥底面半径为球的半径，利用球的表面积即可求解.【详解】圆锥的轴截面为等腰直角三角形，如图所示：在直角圆锥中，点与底面圆都在同一个球面上，由，所以为球的直径，若球的表面积为，由，球的半径，则圆锥底面半径，圆锥母线长，所以圆锥的侧面积为.故选：A5．已知函数，函数在上的零点的个数为（    ）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】首先求出的解析式，即可得到，再根据余弦函数的性质计算可得.【详解】因为，所以，所以，令，令，则，解得，因为，所以或或，所以函数在上的零点的个数为个.故选：B6．北京时间2020年12月17日1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品在预定区域安全着陆，嫦娥五号任务取得圆满成功.这是发挥新型举国体制优势攻坚克难取得的又一重大成就，标志着中国航天向前迈出的一大步，将为深化人类对月球成因和太阳系演化历史的科学认知作出贡献.在所有航天工程中，火箭的作用毋庸置疑，在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（km/s）和燃料的质量M（kg）、火箭（除燃料外）的质量m（kg）的函数关系是.按照这个规律，若火箭的最大速度可达到第二宇宙速度11.2km/s，则火箭的燃料质量M与火箭质量m之比约为（    ）（参考数据：）A．0.0044 B．2.0056 C．1.0056 D．0.0056【答案】D【解析】首先根据函数形式可得，再利用指对互化，求.【详解】由题意可知，则，所以.故选：D7．已知是圆：外一点，过作圆的两切线，切点为，，则的最小值为（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】可得出圆的标准方程为，从而得出圆的半径为，从而可得出，然后根据基本不等式即可得出的最小值．【详解】解：圆的标准方程为，则圆的半径为，设，则，，，，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为．故选：．8．已知函数与的图象没有公共点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题目条件列出方程，然后同构变形，借助，即可求得本题答案.【详解】若函数与的图象没有公共点，即相当于无解，变形得，，令，则，令，则在上为增函数，而，，故唯一解，，且，，化简得，，即，设，则，故在为增函数，故，所以，当时，；时，，所以，所以，当时无解，即.故选：B二、多选题9．下列命题中，说法正确的是（    ）A．已知，若，则B．若从小到大排列的一组数据为.则这组数据的第25百分位数与第60百分位数的比值为C．若两个事件独立，那么D．若，则事件与事件相互独立【答案】ABD【分析】根据正态分布密度曲线的性质判断A，根据百分位数的定义求这组数据的第25百分位数与第60百分数，由此判断B，通过举例判断C，根据独立事件的概率公式判断D.【详解】对于A：因为，所以，又，所以，由对称性可得，A正确；对于B：由已知样本数据中有10个数，又，，所以样本数据的第25百分位数为28，第60百分位数为，所以这组数据的第25百分位数与第60百分位数的比值为，B正确；对于C：举例如下：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币正面朝上”，则，，，所以两个事件独立，但是，C错误；因为，所以，又，所以，所以事件与事件相互独立，D正确.故选：ABD.10．正方体的棱长为1，点满足，则下列说法正确的有（    ）A．若，则B．若，则三棱锥的体积为定值C．若点总满足，则动点的轨迹是一条直线D．若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个面积为的圆【答案】ABC【分析】作出图形，利用线面垂直、平行的判定定理和性质定理逐项分析检验即可求解.【详解】对于，因为且，由向量基本定理可知：点共线，如图，连接，在正方体中，，平面，因为平面，所以，又，所以平面，在上任取一点，连接，则平面，所以，在正方体中，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，则，故选项正确；对于，如图，连接，因为且，由向量基本定理可知：点共线，即点在直线上，在正方体中，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，则直线上任意一点到平面的距离相等，又因为的面积为一定值，所以三棱锥的体积为定值，故选项正确；对于，如图，连接，在正方体中，，平面，因为平面，所以，又，所以平面，平面，所以，同理，有，所以平面，因为点满足，所以点在侧面所在的平面上运动，且，所以动点的轨迹就是直线，故选项正确；对于，因为点到点的距离为，所以点的轨迹是以为球心，半径为的球面与平面的交线，即点的轨迹为小圆，设小圆半径为，因为球心到平面的距离为1，则，所以小圆的面积为，故选项错误；故选：.11．双曲线C：的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是（    ）A．双曲线C的离心率为；B．若，则的面积为；C．的最小值为2；D．双曲线与C的渐近线相同.【答案】ABD【解析】由题知，双曲线方程，，再利用双曲线离心率，双曲线渐近线方程，点到直线的距离可以分别判断选项.【详解】选项A，因为，所以，则离心率为，故A正确；选项B，若，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在上，即，点到渐近线的距离为，则，所以的面积为，故B正确；选项C，的最小值就是点F到渐近线的距离，故C错误；选项D，它们的渐近线都是，渐近线相同，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的几何性质，解题的关键是要熟记渐近线方程和离心率公式，考查学生的分析问题能力和运算求解能力，属于中档题.12．已知函数，，则下列结论正确的是（    ）A．对任意的，存在，使得B．若是的极值点，则在上单调递减C．函数的最大值为D．若有两个零点，则【答案】BD【分析】先求导得，分和讨论函数的单调性及最值，依次判断4个选项即可.【详解】由题意知：，，当时，，单增，无最大值，故C错误；当时，在上，单增；在上，单减；故，当，即时，无零点，故A错误；若是的极值点，则，，故在单减，B正确；若有两个零点，则，且，解得，又时，，时，，此时有两个零点，D正确.故选：BD.三、填空题13．某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为．【答案】【分析】从7人中选出2人则总数有，符合条件数有，后者除以前者即得结果【详解】从7人中随机选出2人的总数有，则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件，∴故答案为：【点睛】组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式14．若，则被5除的余数是．【答案】4【分析】分别取，两式相加可求得，进而根据二项式定理展开，判断被5除的余数.【详解】由题知，时，①，时，②，由①＋②得，，故，所以被5除的余数是4.故答案为：4.15．已知为坐标原点，，B在直线上，，动点M满足，则的最小值为.【答案】/【分析】设，由、得到，整理得点在以为圆心，半径为的圆上，且圆心在直线上，过做的垂线，当垂足为圆心点时，长度最小，求出长度可得答案.【详解】设，因为，所以，因为，所以，，整理得，可得点在以为圆心，半径为的圆上，，当时，可得，即圆心在在直线上，过做的垂线，当垂足为圆心点时，长度最小，的长度也最小，且长度最小值为，此时的最小值为.故答案为：.16．已知椭圆的左焦点是点，过原点倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，若，则椭圆的离心率是．【答案】【分析】设右焦点为，设直线的方程为：，设，，利用几何性质可得，结合焦点三角形的性质和余弦定理可得，求出的坐标后代入椭圆方程可求离心率.【详解】解：设右焦点为，由题意可得直线的方程为：，设，，连接，，因为，所以四边形为平行四边形，则，所以，整理得到即，故，所以可得，代入直线的方程可得，将的坐标代入椭圆的方程可得：，整理可得：，即，解得：，由椭圆的离心率，所以，故答案为：．【点睛】方法点睛：椭圆离心率的计算问题，关键在于构建基本量的方程，可利用点在曲线上来构建，注意焦点三角形的性质在计算过程中的应用.