舒适练习004(解析版)一、单选题1.已知全集,,则集合的真子集个数为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】由交集、并集结果可确定集合,根据中含个元素可计算求得真子集个数.【详解】,,,的真子集个数为个.故选:B.2.已知复数在复平面内对应的点分别为,则( )A. B. C. D.【答案】D【分析】根据复数的坐标表示,求出复数,再利用复数乘法求解作答.【详解】依题意,,所以.故选:D3.已知向量,满足,,则等于( )A. B.13 C. D.29【答案】C【分析】先求得向量,,进而求得.【详解】依题意,,两式相加得,所以,所以.故选:C4.在古希腊数学家欧几里得的著作《几何原本》中,把轴截面为等腰直角三角形的圆锥称为直角圆锥.在直角圆锥中,点与底面圆都在同一个球面上,若球的表面积为,则圆锥的侧面积为( )A. B. C. D.【答案】A【分析】由直径所对的圆周角为直角,可得圆锥底面半径为球的半径,利用球的表面积即可求解.【详解】圆锥的轴截面为等腰直角三角形,如图所示:在直角圆锥中,点与底面圆都在同一个球面上,由,所以为球的直径,若球的表面积为,由,球的半径,则圆锥底面半径,圆锥母线长,所以圆锥的侧面积为.故选:A5.已知函数,函数在上的零点的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【分析】首先求出的解析式,即可得到,再根据余弦函数的性质计算可得.【详解】因为,所以,所以,令,令,则,解得,因为,所以或或,所以函数在上的零点的个数为个.故选:B6.北京时间2020年12月17日1时59分,嫦娥五号返回器携带月球样品在预定区域安全着陆,嫦娥五号任务取得圆满成功.这是发挥新型举国体制优势攻坚克难取得的又一重大成就,标志着中国航天向前迈出的一大步,将为深化人类对月球成因和太阳系演化历史的科学认知作出贡献.在所有航天工程中,火箭的作用毋庸置疑,在不考虑空气阻力的情况下,火箭的最大速度(km/s)和燃料的质量M(kg)、火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是.按照这个规律,若火箭的最大速度可达到第二宇宙速度11.2km/s,则火箭的燃料质量M与火箭质量m之比约为( )(参考数据:)A.0.0044 B.2.0056 C.1.0056 D.0.0056【答案】D【解析】首先根据函数形式可得,再利用指对互化,求.【详解】由题意可知,则,所以.故选:D7.已知是圆:外一点,过作圆的两切线,切点为,,则的最小值为( )A. B. C.2 D.【答案】A【分析】可得出圆的标准方程为,从而得出圆的半径为,从而可得出,然后根据基本不等式即可得出的最小值.【详解】解:圆的标准方程为,则圆的半径为,设,则,,,,当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为.故选:.8.已知函数与的图象没有公共点,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【分析】根据题目条件列出方程,然后同构变形,借助,即可求得本题答案.【详解】若函数与的图象没有公共点,即相当于无解,变形得,,令,则,令,则在上为增函数,而,,故唯一解,,且,,化简得,,即,设,则,故在为增函数,故,所以,当时,;时,,所以,所以,当时无解,即.故选:B二、多选题9.下列命题中,说法正确的是( )A.已知,若,则B.若从小到大排列的一组数据为.则这组数据的第25百分位数与第60百分位数的比值为C.若两个事件独立,那么D.若,则事件与事件相互独立【答案】ABD【分析】根据正态分布密度曲线的性质判断A,根据百分位数的定义求这组数据的第25百分位数与第60百分数,由此判断B,通过举例判断C,根据独立事件的概率公式判断D.【详解】对于A:因为,所以,又,所以,由对称性可得,A正确;对于B:由已知样本数据中有10个数,又,,所以样本数据的第25百分位数为28,第60百分位数为,所以这组数据的第25百分位数与第60百分位数的比值为,B正确;对于C:举例如下:分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设“第一枚硬币正面朝上”,“第二枚硬币正面朝上”,则,,,所以两个事件独立,但是,C错误;因为,所以,又,所以,所以事件与事件相互独立,D正确.故选:ABD.10.正方体的棱长为1,点满足,则下列说法正确的有( )A.若,则B.若,则三棱锥的体积为定值C.若点总满足,则动点的轨迹是一条直线D.若点到点的距离为,则动点的轨迹是一个面积为的圆【答案】ABC【分析】作出图形,利用线面垂直、平行的判定定理和性质定理逐项分析检验即可求解.【详解】对于,因为且,由向量基本定理可知:点共线,如图,连接,在正方体中,,平面,因为平面,所以,又,所以平面,在上任取一点,连接,则平面,所以,在正方体中,因为,且,所以四边形为平行四边形,所以,则,故选项正确;对于,如图,连接,因为且,由向量基本定理可知:点共线,即点在直线上,在正方体中,因为,且,所以四边形为平行四边形,所以,平面,平面,所以平面,则直线上任意一点到平面的距离相等,又因为的面积为一定值,所以三棱锥的体积为定值,故选项正确;对于,如图,连接,在正方体中,,平面,因为平面,所以,又,所以平面,平面,所以,同理,有,所以平面,因为点满足,所以点在侧面所在的平面上运动,且,所以动点的轨迹就是直线,故选项正确;对于,因为点到点的距离为,所以点的轨迹是以为球心,半径为的球面与平面的交线,即点的轨迹为小圆,设小圆半径为,因为球心到平面的距离为1,则,所以小圆的面积为,故选项错误;故选:.11.双曲线C:的右焦点为F,点P在双曲线C的一条渐近线上,O为坐标原点,则下列说法正确的是( )A.双曲线C的离心率为;B.若,则的面积为;C.的最小值为2;D.双曲线与C的渐近线相同.【答案】ABD【解析】由题知,双曲线方程,,再利用双曲线离心率,双曲线渐近线方程,点到直线的距离可以分别判断选项.【详解】选项A,因为,所以,则离心率为,故A正确;选项B,若,又点P在双曲线C的一条渐近线上,不妨设在上,即,点到渐近线的距离为,则,所以的面积为,故B正确;选项C,的最小值就是点F到渐近线的距离,故C错误;选项D,它们的渐近线都是,渐近线相同,故D正确.故选:ABD.【点睛】关键点睛:本题考查双曲线的几何性质,解题的关键是要熟记渐近线方程和离心率公式,考查学生的分析问题能力和运算求解能力,属于中档题.12.已知函数,,则下列结论正确的是( )A.对任意的,存在,使得B.若是的极值点,则在上单调递减C.函数的最大值为D.若有两个零点,则【答案】BD【分析】先求导得,分和讨论函数的单调性及最值,依次判断4个选项即可.【详解】由题意知:,,当时,,单增,无最大值,故C错误;当时,在上,单增;在上,单减;故,当,即时,无零点,故A错误;若是的极值点,则,,故在单减,B正确;若有两个零点,则,且,解得,又时,,时,,此时有两个零点,D正确.故选:BD.三、填空题13.某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛,则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为.【答案】【分析】从7人中选出2人则总数有,符合条件数有,后者除以前者即得结果【详解】从7人中随机选出2人的总数有,则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件,∴故答案为:【点睛】组合数与概率的基本运用,熟悉组合数公式14.若,则被5除的余数是.【答案】4【分析】分别取,两式相加可求得,进而根据二项式定理展开,判断被5除的余数.【详解】由题知,时,①,时,②,由①+②得,,故,所以被5除的余数是4.故答案为:4.15.已知为坐标原点,,B在直线上,,动点M满足,则的最小值为.【答案】/【分析】设,由、得到,整理得点在以为圆心,半径为的圆上,且圆心在直线上,过做的垂线,当垂足为圆心点时,长度最小,求出长度可得答案.【详解】设,因为,所以,因为,所以,,整理得,可得点在以为圆心,半径为的圆上,,当时,可得,即圆心在在直线上,过做的垂线,当垂足为圆心点时,长度最小,的长度也最小,且长度最小值为,此时的最小值为.故答案为:.16.已知椭圆的左焦点是点,过原点倾斜角为的直线与椭圆相交于,两点,若,则椭圆的离心率是.【答案】【分析】设右焦点为,设直线的方程为:,设,,利用几何性质可得,结合焦点三角形的性质和余弦定理可得,求出的坐标后代入椭圆方程可求离心率.【详解】解:设右焦点为,由题意可得直线的方程为:,设,,连接,,因为,所以四边形为平行四边形,则,所以,整理得到即,故,所以可得,代入直线的方程可得,将的坐标代入椭圆的方程可得:,整理可得:,即,解得:,由椭圆的离心率,所以,故答案为:.【点睛】方法点睛:椭圆离心率的计算问题,关键在于构建基本量的方程,可利用点在曲线上来构建,注意焦点三角形的性质在计算过程中的应用.
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