专题01勾股定理在直角三角形中的应用勾股定理及逆定理的应用1．（2022春•长垣市期中）如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为 ．2．（2023春·八年级课时练习）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有，则的度数是（    ）A． B． C． D．3．（2023春·福建南平·八年级统考阶段练习）为预防新冠疫情，民生大院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离AB＝2.4米，当人体进入感应范围内时，测温仪就会自动测温并报告人体体温.当身高为1.8米的市民CD正对门缓慢走到离门0.8米的地方时（即BC＝0.8米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离AD等于（ ）A．1.0米 B．1.2米 C．1.25米 D．1.5米4．（2022秋•南关区校级期末）如图在四边形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1，且∠B＝90°，求∠DAB的度数．已知直角三角形两边求第三边1．（2023春•丰宁县期末）四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状改变而变化．当△ABC是直角三角形时，对角线AC的长为（ ）A．5 B． C． D．42．如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于．3．（2023春•蜀山区期末）如图所示，在边长为单位1的网格中，△ABC是格点图形，求△ABC中AB边上的高．4．（2023春·全国·八年级期中）如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B，最终荡到最高点C处，若，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，则点C与点B的高度差CE为（ ）A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米5．（2021春·广东江门·八年级校考开学考试）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为.      6．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE上的位置上，如图，测得DB的长0.5米，则梯子顶端A下落了（        ）米．A．0.5 B．0.4 C．0.6 D．17．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长为1.（1）三角形是否是直角三角形？．（填“是”或“否”）（2）边上的高为．8．（2023春•龙亭区期末）如图，一工厂位于点C．河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因从工厂C到取水点A的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点H（点A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝2.5km，CH＝2km，BH＝1.5km．（1）CH是否为从工厂C到河边最近的一条路（即CH与AB是否垂直）？请说明理由．（2）求AC的长．解决与勾股定理有关的面积问题1．如图，、、分别是以的三边为直径所画半圆的面积，其中，，则．  2．（2023春•白云区期末）如图，在直线l上方有正方形①，②，③，若①，③的面积分别为4和16，则正方形②的面积为（ ）A．24 B．20 C．12 D．223．（2023春·福建厦门·八年级厦门大学附属科技中学校考期末）被誉为“中国数学界的图腾”的“赵爽弦图”，是用四个全等的直角三角形拼成如图①示的大正方形，中间也是一个正方形，其中四个直角三角形的直角边长分别为a，，斜边长为c．将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形．若该图形的周长为48，，则该图形的面积．  4．（2023秋·安徽宣城·八年级统考期末）如图，将长方形沿折叠，使落在的位置，且与相交于点．(1)求证：；(2)若，，求折叠后的重叠部分阴影部分的面积．勾股定理在实际生活中的应用1．（2023春•贵港期末）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面 尺．2．（2023春·广东深圳·七年级深圳市高级中学校考期末）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是寸．3．（2022秋·八年级单元测试）在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离有5米．则旗杆的高度．4．（2022秋•市中区期末）一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？5．（2023春·贵州黔东南·八年级统考期末）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由向移动，已知点为海港，，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．  (1)求海港到直线的距离；(2)台风中心由向移动的过程中，海港受台风影响吗？为什么？勾股定理中的折叠问题1．（2023春·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，，则的长为    2．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，折叠长方形的一边使点D落在边的点F处，已知，，则EC的长为．  3.（2023春·八年级单元测试）矩形纸片ABCD的边长AB=8，AD=4，将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在某一面着色（如图），则着色部分的面积为（）A．16 B． C．22 D．84．（2022秋·重庆南岸·八年级校联考期中）如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离.已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿ACB爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（取3）  (1)当，时，哪种方式的爬行距离更近？(2)当，时，哪种方式的爬行距离更近？(3)当与满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？5．（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）如图所示，在长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且，则求的长为多少？  勾股定理中的最短路径问题1．（2022春•海伦市期末）如图，长方体的底面边长为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么所用细线最短需要（ ）A．12cm B．11cm C．10cm D．9cm2．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考阶段练习）如图，长方体的长，宽，高，点M在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是（     ）  A． B． C． D．3．（2023春·陕西铜川·八年级铜川市第一中学校考阶段练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（    ）  A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm4．（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，一个长方体盒子，其中AB＝9，BC＝3，M为AB上靠近A的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，EC＝6，CG＝1，CF＝4，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M爬行到N点，它爬行的最短路程为 ．5．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为 cm．（杯壁厚度不计）6．（2023春·山东济宁·八年级统考阶段练习）如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（    ）A． B． C． D．1．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（    ）  A． B． C． D．2．（2023春·四川德阳·八年级四川省德阳市第二中学校校考期中）如图，圆柱底面半径为，高为，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为cm．3．（2022秋•蓬江区月考）请用两种方法证明：△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2＝c24．（2022春•广州期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A﹣B﹣C运动．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．（1）求斜边AB上的高；（2）①当点P在BC上时，PC＝ ；（用含t的代数式表示）②若点P在∠BAC的角平分线上，求t的值．