辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷D一、单选题：12345678DABBCACB二、多选题：9101112BCADBCAD三、填空题：13141516四、解答题：17．解：（1）由题可知，的定义域为，，1分①当时，，函数为上的减函数，2分②当时，令，得，当，则，此时函数为单调递减函数，当，则，此时函数为单调递增函数；4分（2）由题意，问题等价于，不等式恒成立，即，恒成立，令，则问题等价于不小于函数在上的最大值，6分，8分当时，，∴函数在上单调递减，∴函数在的最大值为，9分∴若，不等式恒成立，实数的取值范围为。10分18．解：（1）∵、，且，，∴、，则，3分∵，∴；4分（2）由（1）得，则，设，∴，5分∵，∴，∵，∴，∴，8分令，，当时，，（舍），9分当时，函数图像的对称轴方程为，∴（舍），10分当时，此时函数图像的开口向下，∴，又，∴，解得，符合题意，11分∴存在，使得的最小值。12分19．解：（1）∵是偶函数，∴，即对任意恒成立，∴，∴，即，2分∵当，函数有零点，即方程有实数根，令，则函数与直线有交点，3分∵，又，∴，∴实数的取值范围是；5分（2）∵，又函数与的图像只有一个公共点，则关于的方程只有一个解，∴，令（），得，7分①当，即时，此方程的解为，不满足题意，8分②当，即时，此时，又，，∴此方程有一正一负根，满足题意，10分③当，即时，由方程只有一正根，则需，解得，11分综合①②③得，实数的取值范围为：。12分20．解：（1）函数的最小正周期，∵，，∴函数的最小正周期，∴，解得，2分当时，，令（），解得（），∴函数的图像的对称轴为（），3分当时，，令（），解得（），∴函数的图像的对称轴为（）；4分（2）由题意可知，5分∵是的一个零点，∴，∴，∴（）或（），∴（）或（），又，∴，∴，7分当时，，设，则，则原式可化为，即的图像在区间内与水平直线的图像有个不同的交点，作出在上的图像如下图所示，∴当时，即时，与恰有个不同的交点，∴实数的取值范围为，10分设与的个不同的交点分别为、、（），则、，∴，即，整理得。12分21．解：（1）的定义域为，，1分则，，∴在（）处的切线方程，2分∵该切线经过点，代入得，解得，3分∴，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，5分∴当时，函数取得极小值，无极大值；6分（2）等价于：，由（1）可得（当且仅当时等号成立）①，∴，∴只要证明即可，（需验证等号不同时成立），9分设，，则，当时，，∴单调递减，当时，，∴单调递增，∴，当且仅当时等号成立②，∵①②等号不同时成立，∴当时，。12分22．解：（1）的定义域为，，1分∴，令，解得，∴当时，，在内单调递减，当时，，在内单调递增，∴，∴在上单调递增，4分∵，∴当时，存在唯一零点，当时，，取，则，∴由零点存在性定理可知：存在唯一一个，使得，综上所述，存在唯一零点；6分（2）由（1）中可得唯一一个，使得，，∴，∵，∴，∴，令，∴，，∴，7分需要证明：，设，∴，∴在上单调递减，又，∴当时，，∴，8分设，，∴，，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递减，9分设，，∴，，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递减，∴，∴，当时取等号，11分综上所述，与在上都单调递减，且，，，∴，即得证。12分