绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷A本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，集合，则（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】任取，则，其中，∴，∴，∴，故选C。2．将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图像的解析式为（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】把的图像上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）可得，把的图像向右平移个单位可得，故选B。3．已知，若命题：，命题：，则命题是命题的（）。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件【答案】D【解析】由不等式可得，解得或，即命题为真命题时，构成集合，又由，根据指数函数的图像与性质，可得，即命题为真命题时，构成集合∴是的既不充分也不必要条件，故选D。4．函数在区间上可找到个不同数、、…、，使得，则的最大值为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】设，则条件等价为的根的个数，作出函数和的图像，由图像可知与函数最多有个交点，即的最大值为，故选C。5．已知、、，则、、大小关系为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵、、，又∵且函数在上为增函数，∴，故选C。6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵在区间上是增函数，∴，∴，即，，，∴，令，则，∴在递减，∴，故选A。7．已知函数，，若对于，，使得，则实数的取值范围是（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意可知：，，设，∵，∴，在单调递减，在单调递增，当时，当时，∴，又在的最大值是或，∴，解得，故选A。8．定义在上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在有实数根，则方程在区间上所有实数根之和是（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵函数满足，∴函数的图像关于直线对称，∴，又是上奇函数，∴，∴，∴函数的周期为，考虑一个周期，由函数在区间上单调递减，又由是上奇函数，且关于直线对称，∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∵、，∴当时，，当，，当时，，当时，，∵方程在区间有实数根，则这实根是唯一的，又∵函数的图像关于直线对称，则方程在区间有唯一实数根，方程在区间和区间上没有实根，∴方程在一个周期内有且只有个实数根，根据对称性可知这两根之和为，∵函数在区间上恰好个周期，∴根据函数周期性和对称性可知方程在区间上所有实数根之和为，故选C。二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”。已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】∵，∴，∵，∴，A选项，，可能符合条件，对，B选项，，不符合条件，错，C选项，，即，又，∴，不符合条件，错，D选项，，即，又，∴，可能符合条件，对，故选AD。10．已知函数的导函数为，则（）。A、若为奇函数，则为偶函数B、若，则为奇函数C、若的最小值为，则D、若为偶函数，则为奇函数【答案】ACD【解析】A选项，若为奇函数，则，则，解得，又，，∴是偶函数，对，B选项，若，又，则，∴，，当时，，是奇函数，当时，，不是奇函数，∴不一定是奇函数，错，C选项，若的最小值为，，，则，对，D选项，若为偶函数，，，∴，解得，∴，∴，∴为奇函数，对，故选ACD。11．下列能使式子（，）最小值为的是（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】A选项，当，则，则，则，当且仅当，即时等号成立，对，B选项，由得，则，当且仅当时，即时，等号成立，∴最小值为，错，C选项，假设，则，错，D选项，∵，，∴且，即，∴，由得，设、，即、，∵，∴，即，则，∵，∴，∴，当，即、时，取得最小值，对，故选AD。12．已知函数与的定义域均为，且，，若为偶函数，则（）。A、函数的图像关于直线对称B、C、函数的图像关于点对称D、【答案】BCD【解析】A选项，是偶函数，图像关于对称，的图像，横坐标放大为原来的两倍，得到的图像，则是偶函数，图像关于对称，的图像，向左平移个单位，得到的图像，则的图像关于对称，错，B选项，由，以替换得，由得，令得，∴，∵的图像关于对称，∴，对，C选项，由，以替换得，由得，令得，∴，∴的图像关于点对称，对，D选项，的图像关于对称，∴，∴，由得，以替换得，∴，∴，∴的周期为，又∵的图像关于对称，∴、、，∴，∴，对，故选BCD。【点睛】本题主要由函数的奇偶性研究函数的对称性，包括对抽象函数对称性、奇偶性的研究。主要解题方法有两点，一点是函数图像变换，另一点是赋值法。求解和年份有关的函数求值问题，首先是找到题目中蕴含的规律，再由此进行求值。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．已知函数，则曲线在点（）处的切线方程为。【答案】【解析】，∴，，∴切线方程为，即。14．已知函数，若对任意正数、满足，则的最小值为。【答案】【解析】∵的定义域为，，∴为奇函数，且在上单调递减，∵，∴，∴，即，∴，当且仅当，即、时等号成立，∴的最小值为。15．已知函数（，）的最小正周期为，且函数的图像关于直线对称，若函数在上既存在最大值也存在最小值，则实数的取值范围为。【答案】【解析】由题意可知，∴，又为的一条对称轴，∴，，∴，，又，∴，∴，设，则原函数可化为，若，∴，做函数的图像如图所示，∴或，解得或。16．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为。【答案】【解析】∵，∴中，由可得，设，，则与互为反函数，∴转化为，则只需的图像在上，的图像在下，∴，即，令（），则只需，∴，令，解得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，∴为的极小值也是最小值，∴，即，又，∴。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分分）为了迎接旅游旺季的到来，辽阳汤河风景区内供游客住宿的某宾馆，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入。为此他们统计每个月入住的游客人数，现每年各个月份来宾馆入住的游客人数会呈现周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住宾馆的游客人数基本相同；②入住宾馆的游客人数在月份最少，在月份最多，相差约人；③月份入住宾馆的游客约为人，随后逐月增加直到月份达到最多．（1）若一年中入住宾馆的游客人数与月份之间的关系为（，，）。试求出函数的解析式；（2）请问哪几个月份要准备不少于份的食物？【解析】（1）∵（，，），且，1分根据条件①可知这个函数的周期是，根据条件②可知，最小，最大，且，根据条件③可知，函数在上单调递增，且，∴，2分根据上述分析可得：，∴，且，解得，4分又当时，取最小值，当时，取最大值，∴且，∴，，又∵，∴，5分∴入住宾馆的游客人数与月份之间的关系式为：，且；6分（2）令，化简得，7分即，，解得，，8分∵且，∴可取、、、、，9分即在月、月、月、月、月个月份要准备不少于份的食物。10分18．（本小题满分分）已知函数。（1）化简函数；（2）已知常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；（3）若方程有解，求实数的取值范围。【解析】（1）；2分（2）∵，由（）得：（），4分∴的递增区间为，，5分∵在上是增函数，∴当时，有，6分∴，解得，∴的取值范围是；8分（3）方程，即为，从而问题转化为方程有解，9分只需在函数的值域范围内，∵，当时，当时，11分∴实数的取值范围为。12分19．（本小题满分分）已知函数。（1）求不等式的解集；（2）若方程在区间内有个不等实根，求的最小值。【解析】（1）∵的定义域为，，∴为偶函数且在区间内单调递减，2分又，∴，解得或，综上所述，原不等式的解集是；5分（2）设，则，若原方程有个不等实根，则方程有个不等实根、，其中、，7分∴，即，解得，∴，10分∴当，即时有最小值，最小值为。12分20．（本小题满分分）设函数在区间上的导函数为，且函数在上存在导函数（其中）。定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数。已知函数的图像过点，且在点处的切线斜率为。（1）判断在区间上是否为凸函数，说明理由；（2）求证：当时，函数有两个不同的零点。【解析】（1）由得，而，依题意，∴，2分∴，，，3分∵，∴，∴在区间上为凸函数；4分（2）证明：由（1）知在区间内单调递减，又、，∴存在唯一一个使得，6分当时，，∴在内单调递增，7分当时，，∴在内单调递减，8分∵，，，∴在及内各有一个零点，即在内有两个不同的零点。12分【点睛】（1）根据凸函数的定义，对函数二次求导，结合三角函数性质判断导数正负即可；（2）证明时，函数有个零点，利用函数的单调性结合零点存在定理即可判断。21．（本小题满分分）已知函数。（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：。【解析】（1）的定义域为，，1分可得，又，∴在点处的切线方程为，3分即；4分（2）证明：要证明，只需证明，∵，∴不等式等价于，5分设，定义域为，，6分令，解得，当时，，当时，，∴在内单调递减，在单调递增，∴在处取得极小值也是最小值，，8分设，定义域为，，9分令，解得，当时，，当时，，∴在处取得极大值也是最大值，，11分∵且两个函数的最值点不相同，∴有，∴原不等式得证。12分22．（本小题满分分）设且，函数，。（1）证明：恒成立；（2）若对，恒成立，求实数的取值范围。【解析】（1）证明：的定义域为，，令，解得，1分当时，，∴在区间内单调递减，2分当时，，∴在区间内单调递增，3分∴在处取得极小值也是最小值，∴，∴恒成立；4分（2）①当时，取，则，即不符合题意，5分②当时，取，则，即不符合题意，6分③当时，由，∴，即对恒成立，令，，且，∴对恒成立，8分设，，则，设，则，由（1）知，∴，同理，由可推出，∴，即在上单调递增，又，∴在内单调递减，在内单调递增，∴成立，11分综上所述，实数的取值范围为。12分【点睛】关键点点睛：第二问是本题的重点和难点，关键是分情况讨论，当和两个区间，合理选择定义域，说明不等式不成立，当时，由分析法入手，通过两边取对数，换元等方法，将不等式变形为，是本题的难点。