2024届高三下学期开学摸底考（全国甲卷、乙卷通用）文科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：高考全部内容。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知复数满足，则（    ）A．3 B． C．7 D．133．若实数，满足，则的最大值为（    ）A．5 B．7 C．9 D．64．已知角满足，则（   ）A． B． C． D．5．执行下面的程序框图，则输出的的值为（    ）A．8 B．9 C．10 D．116．某人统计了甲、乙两家零售商店在周一到周五的营业额（单位：百元）情况，得到了如下的茎叶图（其中茎表示十位数，叶表示个位数），关于这5天的营业额情况，下列结论正确的是（    ）A．甲、乙两家商店营业额的极差相同B．甲、乙两家商店营业额的中位数相同C．从营业额超过3000元的天数所占比例来看，甲商店较高D．甲商店营业额的方差小于乙商店营业额的方差7．已知，，，则（    ）A． B． C． D．8．已知函数的定义域为，为偶函数，，，则（    ）A． B． C．0 D．9．如图是四棱锥的平面展开图，四边形是矩形，，，，，，则在四棱锥中，与平面所成角的正切值为（    ）A． B． C． D．10．若，是函数的两个不同的零点，且，，这三个数可适当排序后成等比数列，也可适当排序后成等差数列，则关于的不等式的解集为（）A．{或} B．{或}C．{或} D．{或}11．等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，的最大值为（    ）A．2 B．6 C．8 D．1012．已知点在曲线上，那么的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数，若直线与曲线相切，则.14．已知具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为P，若，椭圆与双曲线的离心率分别记作，则的最小值为．15．已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为.16．在中，角、、的对边分别为、、，若，且，则当边取得最大值时，的周长为.三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）某高中组织学生参加线上新冠肺炎防控知识竞答活动，现从参与答题的男生､女生中分别随机抽取20名学生的得分情况（满分100分），得到如下统计图：性别成绩男生女生合计80分以上80分以下合计202040(1)学校对得分80分以上的学生，颁发“知识达人”荣誉称号.根据直方图补全2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为是否为“知识达人”与性别有关.(2)从成绩在的学生中，按分层抽样抽取6人，再从6人中随机抽取3人，求恰有1人成绩在的概率.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知数列的前n项和为，且，．(1)求的值；(2)若，求数列的通项公式．19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面分别是中点.(1)判断直线与平面的位置关系；(2)若与平面所成角为，求到平面的距离.20．（12分）已知函数．(1)当时，求的最小值；(2)若，判断的零点个数．参考数据：，．21．（12分）设分别为椭圆:的左、右焦点，是椭圆短轴的一个顶点，已知的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，是椭圆上不重合的三点，原点是的重心（i）当直线垂直于轴时，求点到直线的距离；（ii）求点到直线的距离的最大值.（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系中，已知曲线（其中），曲线（为参数，），曲线（t为参数，）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求的极坐标方程；(2)若曲线与分别交于两点，求面积的最大值．选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式恒成立，求实数的值．