舒适练习009（解析版）一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用交集的定义可求得结果.【详解】因为和的最小公倍数为，故.故选：A.2．已知复数（i是虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先利用复数运算规则求得z的代数形式，进而求得z在复平面内对应的点所在象限.【详解】因为，所以z对应点的坐标为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限．故选：C．3．设圆：，若直线在轴上的截距为，则与的交点个数为（    ）A． B． C． D．以上都有可能【答案】C【分析】利用直线过定点，判断定点在圆内即可．【详解】解：直线在轴上的截距为，直线过定点，，点在圆内，直线与的交点个数为个．故选：．4．函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】应用定义判断函数奇偶性，比较，结合排除法即可得答案.【详解】由，故函数为非奇非偶函数，排除B、C；由，，所以，即可排除D.故选：A5．若，，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】因为，所以，所以，所以.故选：D.6．正多面体统称为柏拉图体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等），正多面体共有5种，它们分别是正四面体､正六面体（即正方体）､正八面体､正十二面体､正二十面体.连接正方体中相邻面的中心（如图1），得到另一个柏拉图体，即正八面体（如图2），设分别为的中点，则下列说法正确的是（    ）A．与为异面直线B．经过的平面截此正八面体所得的截面为正五边形C．平面平面D．平面平面【答案】D【分析】利用中位线的关系判断A，根据空间中直线的平行关系判断B，利用平面与平面的夹角的定义判断C，利用面面平行的判定定理判断D.【详解】如图，将正方体补充完整为,连接,则在中，为的中点，所以，在中，为的中点，所以，从而，A错误；取的中点依次为，连接，则有,且，所以经过的平面截此正八面体所得的截面为正六边形，B错误；要证平面平面PCD，即证平面平面，连接，因为平面，所以平面，平面，所以，且所以且平面，所以平面，又因为平面，所以所以为平面与平面所成的角，设正方体的边长为，则，从而，所以，故C错误；因为，平面，平面，所以平面，因为，平面，平面，所以平面，且平面，，所以平面平面，D正确，故选：D.7．在等差数列中，为其前项和，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用和表示出已知等式，解方程组求得和，由等差数列通项公式可得结果.【详解】设的公差为，则，解得：，.故选：C.8．已知函数，若在上恒成立，为自然对数的底数，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】在上恒成立，即在上恒成立，令，故只需即可，利用导数求出的最大值即可.【详解】若在上恒成立，即在上恒成立，令，故只需即可，，令，得，当时，；当时，，所以在上是单调递增，在上是单调递减，所以当，所以实数的取值范围是.故选：B.【点睛】本题主要考查分离参数法处理恒成立问题，同时考查利用导数求函数的最值，属于中档题.二、多选题9．函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（    ）A．若的导函数为，定义域为R，则B．函数的图像关于直线对称C．的图像关于对称D．设数列为等差数列，若，则【答案】ACD【分析】由是奇函数得到是偶函数，为奇函数判断A；根据函数图像的平移伸缩变换，结合图像关于对称判断B；.由，结合为奇函数判断C；由C得到时，，再结合等差数列性质判断D.【详解】解：因为函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，所以，，所以，即，所以，是偶函数所以，，所以，为奇函数，故定义域为R，则，A选项正确；函数的图像是由函数图像向右平移一个单位，再将横坐标缩短为原来的得到，因为是偶函数，图像关于对称，所以函数的图像关于直线对称，故B选项错误；因为，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向量平移而得，故C选项正确；由选项知，当时，，由等差数列性质，所以，同理，，；，；，；，；，即，故；所以，，故D选项正确.故选：ACD10．已知向量，则（    ）A． B．C． D．在上的投影向量是【答案】ACD【分析】对于A，能过计算是否为零进行判断，对于B，求出的坐标，再与的坐标比较判断，对于C，分别求出，的坐标，再求其模进行判断，对于D，利用投影向量的定义计算判断.【详解】对于A，因为，所以，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，因为，所以与不平行，所以B错误，对于C，因为，所以，，所以，，所以，所以C正确，对于D，因为，，所以在上的投影向量为，所以D正确，故选：ACD11．将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对任意的，均成立，且相邻的两个最小值点间的距离为，则（    ）A．的最大值为1B．C．在上单调递减D．对任意的，均有成立【答案】BD【分析】先利用图象变化得到，即可判断A，然后通过得到即可判断B，再用正弦函数的图象性质可判断C和D【详解】解：将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，再向左平移个单位长度，得到函数，所以的最大值为2，A错误；因为相邻的两个最小值点间的距离为，故，则，因为恒成立，所以在处取得最小值，故，即，因为，所以，B正确；因为，令，得，所以在上单调递减，C错误；因为，所以在处取得最大值，D正确，故选：BD12．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ）A．为的一个焦点B．双曲线的离心率为C．过点作直线与交于两点，则满足的直线有且只有两条D．设为上三点且关于原点对称，则斜率存在时其乘积为【答案】BD【分析】依题意求出双曲线方程，即可判断AB；再由双曲线的对称性判断C；设，，利用点差法求出；【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，解得，所以双曲线，所以，，，所以则其焦点为、，离心率，故A错误，B正确；过点作直线与交于两点，因为为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时，当直线的斜率为时，，所以由双曲线的对称性得，满足的直线有4条，故C错误；设，，，所以，，因为在双曲线上，所以，，两式相减得，所以，故D正确；故选：BD三、填空题13．二项式的展开式中的常数项为.【答案】【分析】展开式的通项为，由得出，代入即可得出答案.【详解】二项式的展开式的通项为.由，可得，所以，常数项为.故答案为：.14．口袋内装有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.44，摸出白球的概率是0.23，那么摸出黑球的概率是．【答案】0.33【分析】利用互斥事件的概率求法即可得解.【详解】在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的,摸出红球的概率是0.44，摸出白球的概率是0.23，那么摸出黑球的概率是摸出黑球的概率是故答案为：0.3315．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的直线交于A，B两点，A，B中点在轴上方且其横坐标为1，，则直线的斜率为.【答案】【分析】设出直线的方程为：，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式，以及中点坐标即可求解.【详解】由题意可知：直线的斜率存在且大于零，则设直线的方程为：，，联立方程组，整理可得：，则，，又因为A，B中点的横坐标为1，所以，则，由弦长公式可得：，又因为，则有，化简整理可得：，即，解得：，因为，所以，故答案为：.16．四面体的每个顶点都在球的球面上，两两垂直，且，，，则球的表面积为.【答案】.【分析】根据题意将四面体补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线的长等于四面体外接球的直径的长，从而可求出球的半径，进而可求出其表面积.【详解】根据题意将四面体补成如图所示的长方体，则长方体的体对角线的长等于四面体外接球的直径的长，设外接球的半径为，因为，，，所以，所以，所以球的表面积为，故答案为：